Система рівнянь – це набір рівнянь, які мають спільні змінні. У реальному житті такі системи можуть виникати у різних сферах, включаючи математику, фізику, економіку та інженерію. Рішення системи рівнянь дозволяє знайти значення змінних, що задовольняють всі рівняння цієї системи.
Існує кілька способів розв'язання систем рівнянь, включаючи метод підстановки, метод виключення, метод заміщення та матричний метод. Кожен з цих методів має свої особливості та застосовується у різних ситуаціях.
Метод підстановки полягає в тому, щоб виразити одну змінну через іншу в одному рівнянні та підставити цей вираз в інше рівняння. Цей метод простий у використанні, але може бути неефективним для систем із великою кількістю рівнянь.
Метод виключення заснований на прийомі множення або розподілу одного або кількох рівнянь так, щоб коефіцієнти перед однією зі змінних стали рівними. Потім можна скласти або відняти рівняння так, щоб одна зі змінних зникла. Після цього можна знайти значення цієї змінної і підставити його в одне з вихідних рівнянь для знаходження значення іншої змінної.
Метод заміщення полягає в тому, щоб висловити одну із змінних через іншу в одному рівнянні та підставити цей вираз в інше рівняння. Потім вирішується рівняння з однією змінною та знаходиться її значення. Після цього підставляється значення знайденої змінної в одне з вихідних рівнянь і значення іншої змінної.
Матричний метод використовує поняття матриць та операції з них, щоб вирішити систему рівнянь.Система рівнянь представляється як матричного рівняння, яке потім перетворюється з допомогою елементарних перетворень матриць. Рішенням системи є значення змінних, що відповідають перетвореному матричному рівнянню.
| Кількість рівнянь | Кількість змінних | Кількість способів вирішення |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | Безкінечно багато |
| 2 | 3 | Немає рішень |
| 3 | 2 | Немає рішень |
| 3 | 3 | Один |
| 3 | 4 | Безкінечно багато |
| 4 | 2 | Скільки завгодно |
| 4 | 3 | Безкінечно багато |
| 4 | 4 | Один |
| 4 | 5 | Немає рішень |
Які є способи розв'язання систем рівнянь?
Теорія
| 1. | Метод підстановки |
|---|---|
| 2. | Метод алгебраїчної складання |
| 3. | Метод введення нових змінних |
| 4. | Графічний метод |
Скільки розв'язків має система рівнянь?
Система рівнянь має нескінченно багато рішень.
Які системи рівнянь?
Типи систем рівнянь
- Алгебраїчні рівняння: Система лінійних алгебраїчних рівнянь Система нелінійних рівнянь
- Диференціальні рівняння: Система диференціальних рівнянь (лінійні/нелінійні, звичайні/у приватних похідних)
Які системи рівнянь немає рішення?
Система лінійних рівнянь, що не має розв'язків, називається несумісний. Система, що має єдине рішення, називається певною. Система, що має безліч рішень, називається невизначеною.